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函數方程求解世界滾動

2023-07-02 10:46:09來源：個人圖書館-123xyz123

題目如下:

文章中會使用一些數學符號:

(資料圖片僅供參考)

即 "令" 即 "恒等于" 即非負整數集即正整數集即整數集即有理數集即非負有理數集即 "對于任意的/所有的"

一上來沒有太多思路的情況下最好的做法就是試值. 通過觀察函數方程的結構, 注意到最令人頭疼的是, 所以我們希望消除復合函數. 自然會想到

這樣我們知道一個滿足該方程的函數是 , 接下來只需要討論的情況. 因為我們已知, 自然要去利用這個條件, 所以因此是函數方程的另一個解. 下面繼續(xù)討論的情況. 我們目前知道的值, 下面自然會想到求出的值. 此時我們試值時要注意到不能繼續(xù)使用, 因為這只會讓我們知道另外, 注意到方程的結構非常容易操作, 因為大部分函數內并沒有再次進行運算, 唯一需要特別關注的是和兩項. 比較容易想到我們已經獲得了大量的信息, 因此現(xiàn)在不妨大膽猜測.

猜想1:

我們希望驗證剛才提出的猜想, 即 . 我們該怎么驗證呢？實際上, 可以參考剛才的思路. 一開始, 我們得出 , 從而推出 , 進而結合前面的結論推出. 其實我們是在個命題全部正確性的基礎上, 推出命題是正確的, 其中代表.

令代表命題, 若其中任意命題錯誤, 錯誤, 反之正確. 我們之前的操作證明了對于 , , 現(xiàn)在我們希望證明 . 下面進行證明：

已知對于某,

由于

知

證明完畢后, 我們發(fā)現(xiàn)該證明可以直接使用. 這并不是大的問題, 也不會影響我們后續(xù)的證明, 所以無需修改.

這種證明方式, 即利用以及一些特殊情況 (base case) 的正確性來證明某猜想的一般性被稱為數學歸納法, 是一種常見的證明方法.

結論1:

接下來的兩部分證明具有一定的挑戰(zhàn)性. 既然我們已經討論完正整數的情況, 接下來自然會想到將證明拓展到非負有理數情況 (即完成非負數部分證明). 不妨設有理數為 . 經過合理的猜測, 我們希望證明

這并不好證明, 即使結合之前的結論也很難直接證明. 因此, 這種情況下一般會想到將題目及題目條件換一種方式表達出來. 對于這道題, 我們可以從兩個方面考慮:

盡量避免"復雜形式=簡單形式"的等式, 例如這里提出的. 原因也是很顯然的, 因為這樣很難看出其本質與結構特征, 并且可能省略了一些關鍵信息.函數內盡量避免分數, 因為沒法處理.

有了這兩條"原則", 經過一些嘗試后題目可轉化為

到這里貌似遇到了困難, 所以再從之前證明的結論中尋找切入點. 目前我們不是很清楚如何使用之前的結論, 不妨再次嘗試試值.

猜想2:

在這個階段, 我們并不確定怎么避開分數, 因為試值的目的就是分析的性質. 但是, 我們盡量避免出現(xiàn)類似的情況, 因為這樣會將我們的證明復雜化.

此時, 我們要考慮

并由此得出

我們希望能將原方程轉化為

其中是與有關的函數表達式. 因此, 可將原方程整理為

結合,

由

結論2:

接下來證明負數的情況. 我們依然考慮利用這一項作為突破點, 畢竟這允許我們結合對非負整數成立的性質來求解. 若繼續(xù)使用跟前面一樣的試值方法會遇到一些困難 (可以自行嘗試, 留作練習). 因此, 可以先對條件盡可能地進行轉化. 這里需要進行嘗試, 但計算量并不大, 主要是利用之前的結論對方程進行展開, 并且要取原方程中的主要條件. 因為想從上突破, 所以令.

結合以上結論得

由得

接下來有許多種處理方式, 在此我們介紹一個比較巧妙的函數方程組. 先看方法：

通過已知結論及, 構造

那么我們?yōu)槭裁磿氲竭@一步呢？實際上, 我們發(fā)現(xiàn)的偶數次迭代給我們帶來了非常強的結論, 我們此時希望達到一個最好的情況, 也就是能將奇數次迭代的表達式與一個數字進行直接的比較, 而我們目前只能將的情況寫為一個數字, 因此會想到用. 也正是因為直接比較的需求, 我們希望能利用在正有理數域上的單調性將表達式簡化, 因此會想到取的平方. 經過大膽的嘗試, 我們就可以得到以上方程組.相減, 并考慮在上的單調性：

若,

矛盾. 因為符合原方程, 則. 這里使用其他測試值也能得到矛盾, 不再展開說明.

對負數的情況使用數學歸納法, 再使用處理分數的思路 (留作練習), 可得出

或或

容易驗證這些函數均滿足原方程. 證畢.

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